Question

對(duì)于函數(shù)f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在實(shí)數(shù)a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么稱h（x）為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．
（1）下面給出兩組函數(shù)，h（x）是否分別為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)？并說(shuō)明理由．
第一組：；
第二組：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1．
（2）設(shè)，生成函數(shù)h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（3）設(shè)，取a＞0，b＞0生成函數(shù)h（x）圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）．若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x₁，x₂且x₁+x₂=1，試問(wèn)是否存在最大的常數(shù)m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立？如果存在，求出這個(gè)m的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）①設(shè)，即
取，所以h（x）是f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．
②設(shè)a（x²+x）+b（x²+x+1）=x²-x+1，即（a+b）x²+（a+b）x+b=x²-x+1，則，該方程組無(wú)解．
所以h（x）不是f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．…
（2）h（4x）+t•h（2x）＜0，即log₂（4x）+t•log₂（2x）＜0
所以，（2+log₂x）+t（1+log₂x）＜0．因?yàn)閤∈[2，4]，所以1+log₂x∈[2，3]
則，函數(shù)在[2，4]上單調(diào)遞增，所以
故．　　　　　　　　　　　　　　　　　…
（3）由題意得，，則，
故，解得所以．　　　　　　　　…
假設(shè)存在最大的常數(shù)m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立．
于是設(shè)=
=
設(shè)t=x₁x₂，則，即
設(shè)
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/402698.png' />，所以，在上單調(diào)遞減，從而
故存在最大的常數(shù)m=289
分析：（1）化簡(jiǎn)h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），使得與相同，求出a，b判斷結(jié)果滿足題意；類似方法計(jì)算判斷第二組．
（2）設(shè)，生成函數(shù)化簡(jiǎn)不等式h（4x）+t•h（2x）＜0，在x∈[2，4]上有解，就是求的最大值，即可．
（3）由題意得，，則，由于生成函數(shù)h（x）圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）．故，可求得所以函數(shù)．假設(shè)存在最大的常數(shù)m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立．即有，從而轉(zhuǎn)化為求u的最小值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查其他不等式的解法，函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素，函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查值思想，分類討論，計(jì)算能力，函數(shù)與方程的思想，是中檔題．