Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

cos(πx-π)+1  x∈( 1 2 ，1) ∪(1， 3 2 ) a                      x=1

，若關(guān)于x的方程2[f（x）]²-（2a+3）f（x）+3a=0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則滿足題意的a的取值范圍是 （　�。�

• A．（0，1）
• B．(0，

  3

  2

  )
• C．（1，2）
• D．(1，

  3

  2

  )∪(

  3

  2

  ，2)

Answer 1

分析：題中原方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0等價(jià)于f（x）=

3

2

或f（x）=a，原方程有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即要求對(duì)應(yīng)于f（x）等于某個(gè)常數(shù)有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，結(jié)合圖象知，只有當(dāng)f（x）=a時(shí) 有三個(gè)根，方能符合題意，由此即可求出結(jié)論．

解答：解：由題中方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0可得f（x）=

3

2

或f（x）=a
又此方程有且只有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
 根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖：如右圖
由于f（x）等于

3

2

時(shí)方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
由圖可知，只有當(dāng)f（x）=a時(shí)，它有三個(gè)根才能保證關(guān)于x的方程2[f（x）]²-（2a+3）f（x）+3a=0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．
所以有：1＜a＜2    ①．
再根據(jù)2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有兩個(gè)不等實(shí)根，
得：△=（2a+3）²-4×2×3a＞0⇒a≠

3

2

     ②
結(jié)合①②得：1＜a＜

3

2

或

3

2

＜a＜2．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與一元二次方程根的分布的知識(shí)，本題解題的關(guān)鍵是可以結(jié)合函數(shù)的圖象來(lái)確定解的個(gè)數(shù)，本題是一個(gè)綜合題目．