Question

設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡為曲線E，是否存在直線l，使l過點(diǎn)（0.1）并與曲線E交于P、Q兩點(diǎn)，且滿足

OP

•

OQ

=-2？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．
注：三角形的重心的概念和性質(zhì)如下：設(shè)△ABC的重心，且有

GD

GC

=

GE

GA

=

GF

GB

=

1

2

．

Answer 1

分析：可設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），由重心坐標(biāo)的公式，可得G（

1

3

x，

1

3

y），再由外心M在AB的垂直平分線上，而AB所在直線為y=0，外心就落在y軸上，橫坐標(biāo)為零，則可設(shè)外心坐標(biāo)M（0，b），由GM∥AB可得M（0，

1

3

y），由外心定義，CM=AM=BM，AM已經(jīng)等于Bm了，只需要令CM=AM或者CM=BM即可，代入距離公式可求點(diǎn)C的軌跡方程．
（II）假設(shè)存在直線l滿足條件，設(shè)直線l方程為y=kx+1，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由

OP

•

OQ

=-2，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入可求K

解答：解：可設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）．
由重心坐標(biāo)的公式，可得G（

1

3

x，

1

3

y）
外心M在AB的垂直平分線上，顯然AB所在直線為y=0，外心就落在y軸上，橫坐標(biāo)為零；
設(shè)外心坐標(biāo)M（0，b），由GM∥AB可知

1

3

y=b
那么就確定了外心坐標(biāo)M（0，

1

3

y）
由外心定義，CM=AM=BM，AM已經(jīng)等于Bm了，只需要令CM=AM或者CM=BM即可
不妨CM=AM，
∴x2+(y-

1

3

y)2=(-1-0)2+(

1

3

y)2
整理可得點(diǎn)C的軌跡方程為 x²+

y2

3

=1(xy≠0)
（II）假設(shè)存在直線l滿足條件，設(shè)直線l方程為y=kx+1，
由

y=kx+1 x2+ y2 3 =1

消去x，得（3+k²）x²+2kx-2=0    
∵直線l與曲線E并于P、Q兩點(diǎn)，∴△=4k²+8（2+k²）＞0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

x1+x2=- 2k 3+k2 x1x2=- 2 3+k2 .

∵

OP

•

OQ

=-2，
∴x₁x₂+y₁y₂=-2，即x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=-2．
（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+3=0，（1+k²）(-

2

3+k2

)+k(-

2k

3+k2

)+3=0
解得k²=7，∴k=±

7

故存在直線l：y=±

7

+1，使得

OP

•

OQ

=-2，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的外心與重心性質(zhì)的應(yīng)用，點(diǎn)的軌跡方程的求解，直線與橢圓相交關(guān)系中的方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用及一定的推理與運(yùn)算的能力的考查，具有一定的綜合性．