Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）通過構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列{b_n}，是否存在一個(gè)非零常數(shù)c，使{b_n}也為等差數(shù)列；
（3）求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用通項(xiàng)公式，建立關(guān)于a₁，d 的方程組，并解出a₁，d 可求通項(xiàng)公式．
（2）寫出bn的表達(dá)式，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式特點(diǎn)：關(guān)于n的一次函數(shù)形式，確定是否存在．
（3）研究f（n）的函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合分式形式，考慮用基本不等式法求最值．
解答：解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，
∴．
（2），=，
令，即得b_n=2n，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
∴存在一個(gè)非零常數(shù)，使{b_n}也為等差數(shù)列．
（3），
∵，
∵n∈N⁺，
∴n=45時(shí)，有最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，考查分析解決問題、計(jì)算的能力．