Question

已知向量

a

=（1，1），

b

=（1，0），向量

c

滿足

a

•

c

=0且|

a

|=|

c

|，

b

•

c

＞0．
（I）求向量

c

；
（Ⅱ）映射f：（x，y）→（x′，y′）=x•

a

+y•

c

，若將（x，y）看作點(diǎn)的坐標(biāo)，問(wèn)是否存在直線l，使得直線l上任意一點(diǎn)P在映射f的作用下仍在直線l上？若存在，求出l的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出向量的坐標(biāo)根據(jù)已知條件列出式子解出坐標(biāo)，然后驗(yàn)證是否滿足

b

•

c

＞0；
（2）由映射寫(xiě)出象的坐標(biāo)建立方程，由兩方程表示同一直線比較系數(shù)可得b、k的值．

解答：解：（1）設(shè)

c

=（x，y），由題意可得

a • c =x+y=0 | a |=| c |= x2+y2 = 12+12

解方程組得

x=1 y=-1

或

x=-1 y=1

，
經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)

x=-1 y=1

時(shí)不滿足

b

•

c

＞0，當(dāng)

x=1 y=-1

時(shí)滿足題意，
故

c

=（1，-1）．
（2）假設(shè)直線l存在，∴x

a

+y

c

=（x+y，x-y），∵點(diǎn)（x+y，x-y）在直線l上，
因此直線l的斜率存在且不為零，設(shè)其方程為y=kx+b（k≠0），
∴x-y=k（x+y）+b，即（1+k）y=（1-k）x-b，與y=kx+b表示同一直線，
∴b=0，k=-1±

2

．
故直線l存在，其方程為y=（-1+

2

）x，或y=（-1-

2

）x．

點(diǎn)評(píng)：本題為向量的基本運(yùn)算，涉及直線的方程的應(yīng)用，屬中檔題．