Question

有甲、乙兩種商品，經(jīng)營(yíng)銷售這兩種商品所能獲得的利潤(rùn)依次是P（萬(wàn)元）和Q（萬(wàn)元），它們與投入資金x（萬(wàn)元）的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式：P=

x

5

，Q=

3

5

x

．今有3萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別應(yīng)為多少？能獲得最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析：根據(jù)3萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品，設(shè)投入乙x萬(wàn)元，則投入甲（3-x）萬(wàn)元，根據(jù)總利潤(rùn)=甲的利潤(rùn)+乙的利潤(rùn)，可得函數(shù)關(guān)系式，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用配方法可得結(jié)論．

解答：解：設(shè)對(duì)乙種商品投資x萬(wàn)元，則對(duì)甲種商品投資（3-x）萬(wàn)元，總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，…（1分）
根據(jù)題意得y=

1

5

(3-x)+

3

5

x

（0≤x≤3）…（6分）
令t=

x

，則x=t²，0≤t≤

3

．
所以y=

1

5

(3-t2)+

3

5

t=-

1

5

(t-

3

2

)2+

21

20

，（0≤t≤

3

）…（9分）
當(dāng)t=

3

2

時(shí)，ymax=

21

20

=1.05，此時(shí)x=

9

4

，3-x=

3

4

…（11分）
由此可知，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品投資分別為0.75萬(wàn)元和2.25萬(wàn)元，獲得的最大利潤(rùn)為1.05萬(wàn)元．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查函數(shù)的最值．關(guān)鍵是根據(jù)題意列方程，利用換元、配方法求函數(shù)的最值．