Question

在底面半徑為6的圓柱內(nèi)，有兩個(gè)半徑也為6的球面，兩球的球心距為13，若作一個(gè)平面與兩個(gè)球都相切，且與圓柱面相交成一橢圓，則橢圓的長軸長為

13

．

Answer 1

分析：設(shè)兩個(gè)球的球心分別為O₁、O₂，橢圓的長軸為AB，作出由AB與O₁O₂確定平面α與兩個(gè)球及圓柱的截面，并過A作O₁O₂的垂線，交圓柱的母線于點(diǎn)C，連接O₁與AB切球O₁的切點(diǎn)D．分別在Rt△O₁DE中和Rt△ABC中，利用∠BAC=∠DO₁E和余弦的定義，結(jié)合題中的數(shù)據(jù)建立關(guān)系式，即可解出AB的長，即得該橢圓的長軸長．

解答：解：設(shè)兩個(gè)球的球心分別為O₁、O₂，所得橢圓的長軸為AB，
直線AB與O₁O₂交于點(diǎn)E，設(shè)它們確定平面α，
作出平面α與兩個(gè)球及圓柱的截面，如圖所示
過A作O₁O₂的垂線，交圓柱的母線于點(diǎn)C，設(shè)AB切球O₁的大圓于點(diǎn)D，連接O₁D
∵Rt△O₁DE中，O₁E=

1

2

O₁O₂=

13

2

，O₁D=6
∴cos∠DO₁E=

O1D

O1E

=

12

13

∵銳角∠DO₁E與∠BAC的兩邊對應(yīng)互相垂直
∴∠BAC=∠DO₁E，
得Rt△ABC中，cos∠BAC=

AC

AB

=

12

13

∵AC長等于球O₁的直徑，得AC=12
∴橢圓的長軸AB=13
故答案為：13

點(diǎn)評：本題給出圓柱內(nèi)兩個(gè)與圓柱相切且半徑相等的球，在已知球心距離的情況下求同時(shí)與兩個(gè)球相切的平面截圓柱得橢圓的長軸的長度．著重考查了圓與圓的位置關(guān)系、直角三角形中余弦的定義和橢圓的基本概念等知識，屬于基礎(chǔ)題．