已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為e=
2
2
，左、右焦點分別為F1、F2，點P的坐標為（2，
3
），且F2在線段PF1的中垂線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如果圓E：（x-
1
2
）2+y2=r2被橢圓C所覆蓋，求圓的半徑r的最大值．
分析：（1）由橢圓C的離心率e=
2
2
和點F2在線段PF1的中垂線上知|F1F2|=|PF2|，由此推出(2c)2=(
3
)2+(2-c)2，從而可求出橢圓C的方程．
（2）設P（x0，y0）是橢圓C上任意一點，則
x
2
0
2
+
y
2
0
=1，|PE|=
(
x
 
0
-
1
2
)2+
y
2
0
，由此可求出圓的半徑r的最大值．
解答：解：（1）橢圓C的離心率e=
2
2
，得
c
a
=
2
2
，
其中c=
a2-b2
，橢圓C的左、右焦點分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），又點F2在線段PF1的中垂線上，
∴|F1F2|=|PF2|，∴(2c)2=(
3
)2+(2-c)2，
解得c=1，a2=2，b2=1，
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1．
（2）設P（x0，y0）是橢圓C上任意一點，
則
x
2
0
2
+
y
2
0
=1，|PE|=
(
x
 
0
-
1
2
)2+
y
2
0
，∵
y
2
0
=1-
x
2
0
2
，
∴|PE|=
(
x
 
0
-
1
2
)2+1-
x
2
0
2
=
1
2
x
2
0
-
x
 
0
+
5
4
（-
2
≤
x
 
0
≤
2
）．
當x0=1時，|PE|min=
1
2
-1+
5
4
=
3
2
，
∴半徑r的最大值為
3
2
．
點評：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)和圓的知識，解題時要仔細審題，認真計算．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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