Question

（08年寶山區(qū)模擬文）（18分）  已知橢圓C：(a>b>0)的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為。

（1）求橢圓的方程；

（2）若過橢圓的右焦點，傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點，求線段AB的長；

（3）如圖，過原點相互垂直的兩條直線與橢圓的四個交點構成四邊形PRSQ，設直線PS的傾斜角為，試問：△PSQ能否為正三角形，若能求的值，若不能，說明理由。

 

Answer 1

解析：（1）由題意得，解得………………………3分

所求的方程為………………………4分

（2）直線方程為，………………………6分

代入橢圓方程得，所以，……………………………8分

由弦長公式求得。…………………………………………………………………10分

（3）當P在y軸上，Q在x軸上時，△PSQ不是正三角形。 ……………………11分

當P不在y軸上時，設直線PS的斜率為k，，則直線RQ的斜率為，

由得(1)，同理(2) ………………………………12分

由△PSQ為正三角形，得，即………………………13分

所以，化簡得，…………………………………15分

，即。………………………………………………17分

所以△OPQ不是正三角形。………………………………………………………………18分