Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F₁（-2，0），左準(zhǔn)線(xiàn)l₁與x軸交于點(diǎn)N（-3，0），過(guò)點(diǎn)N且傾斜角為30°的直線(xiàn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)l和橢圓的方程；
（2）求證：點(diǎn)F₁（-2，0）在以線(xiàn)段AB為直徑的圓上；
（3）在直線(xiàn)l上有兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn)C、D，以CD為直徑且過(guò)點(diǎn)F₁的所有圓中，求面積最小的圓的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，由焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程求出橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸的長(zhǎng)，寫(xiě)出橢圓的方程．
（2）將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算x₁+x_2和x₁x₂的值，利用2個(gè)向量數(shù)量積公式計(jì)算

F1A

•

F1B

=0，得到F₁A⊥F₁B，所以點(diǎn)F₁在以線(xiàn)段AB為直徑的圓上．
（3）面積最小的圓的半徑長(zhǎng)應(yīng)是點(diǎn)F₁到直線(xiàn)l的距離，用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓的最小半徑．

解答：解：（1）直線(xiàn)l：y=

3

3

（x+3），
由已知c=2及

a2

c

=3，解得a²=6，
∴b²=6-2²=2．
x²+3y²-6=0，①
∴橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（2） y=

3

3

（x+3），②
將②代入①，整理得2x²+6x+3=0．③
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-3，x₁x₂=

3

2

．
∵

F1A

•

F1B

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂
=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+

1

3

[x₁x₂+3（x₁+x₂）+9]=

4

3

x₁x₂+3（x₁+x₂）+7=0，
∴F₁A⊥F₁B．則∠AF₁B=90°．
∴點(diǎn)F₁（-2，0）在以線(xiàn)段AB為直徑的圓上．
（3）解：面積最小的圓的半徑長(zhǎng)應(yīng)是點(diǎn)F₁到直線(xiàn)l的距離，設(shè)為r．
∴r=

| 3 3 ×(-2)-0+ 3 |

( 3 3 )2+1

=

1

2

為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求直線(xiàn)方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系．