Question

如圖，正方形CDEF內(nèi)接于橢圓，且它的四條邊與坐標(biāo)軸平行，正方形GHPQ的頂點(diǎn)G,H在橢圓上，頂點(diǎn)P，Q在正方形的邊EF上．且CD=2PQ=．

(1)求橢圓的方程；
(2)已知點(diǎn)M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m:≠0)，l交橢圓于A,B兩個(gè)不同點(diǎn)，求證：直線MA，MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．

Answer 1

（1）；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交問(wèn)題等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，由圖形分析，利用CD和PQ的邊長(zhǎng)得出點(diǎn)E和點(diǎn)G的坐標(biāo)，由于這2點(diǎn)都在橢圓上，聯(lián)立方程得出和，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，通過(guò)對(duì)題意的分析，只需證明直線MA，MB的斜率之和為0即可，設(shè)出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，列出2條直線的斜率的表達(dá)式，直線與橢圓方程聯(lián)立消參，得到關(guān)于x的方程，列出兩根之和與兩根之積，而通過(guò)轉(zhuǎn)化可以將得到的兩根之和與兩根之積代入，只要最后化簡(jiǎn)結(jié)果為0即可.
試題解析：(1)∵，∴點(diǎn)，
又∵，∴點(diǎn)，
則，解得，
∴橢圓方程.（4分）
(2)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁＋k₂＝0即可，設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則，，直線l方程為，代入橢圓方程消去y，
得x²＋2mx＋2m²－4＝0可得x₁＋x₂＝－2m，x₁x₂＝2m²－4.（9分）
而



，（12分）
∴k₁＋k₂＝0，故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.（13分）