Question

已知(

3	x

-

1

2 3 x

)2n展開式中偶數(shù)項二項式系數(shù)的和比（a+b）ⁿ展開式的各項系數(shù)和大112．
（1）求n；
（2）在（1）的條件下，求（a-b）²ⁿ展開式中系數(shù)最大的項；
（3）求(

3	x

-

1

2 3 x

)2n展開式中的所有的有理項．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

22n

2

-2ⁿ=112，解得2ⁿ=16，可得n=4．
（2）（a-b）²ⁿ =（a-b）⁸ 開式中系數(shù)最大的項為 T₅=

C

4 8

•a⁴•（-b）⁴，化簡可得結(jié)果．
（3）在(

3	x

-

1

2 3 x

)2n 的展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)為整數(shù)

8-2r

3

，且0≤r≤8，可得r=1，4，7，從而求得展開式中的所有的有理項．

解答：解：（1）由題意可得

22n

2

-2ⁿ=112，故有（2ⁿ-16）（2ⁿ+14）=0，∴2ⁿ=16，解得n=4．
（2）（a-b）²ⁿ =（a-b）⁸ 開式中系數(shù)最大的項為 T₅=

C

4 8

•a⁴•（-b）⁴=70a⁴•b⁴．
（3）(

3	x

-

1

2 3 x

)2n=(

3	x

-

1

2 3 x

)8展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 8

•x

8-r

3

•(-

1

2

)r•x-

r

3

 
=(-

1

2

)r•

C

r 8

•x

8-2r

3

．
再根據(jù)

8-2r

3

為整數(shù)且0≤r≤8，可得 r=1，4，7，
故有理項為

C

1 8

•(-

1

2

)1•x2=-4x²；

C

4 8

•(-

1

2

)4•x0=

35

8

；

C

7 8

•(-

1

2

)7•x-2=-

1

16

x^-2．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．