Question

已知函數(shù)．
（1）求在上的最大值；
（2）若直線為曲線的切線，求實數(shù)的值；
（3）當時，設，且，若不等式恒成立，求實數(shù)的最小值．

Answer 1

（1）（2）或．   （3）的最小值為．

試題分析：
（1）利用導數(shù)可以求解函數(shù)單調(diào)性得到極值與最值,但是函數(shù)含有參數(shù),故而需要討論,首先對函數(shù)求定義域，求導可以發(fā)現(xiàn)導函數(shù)的分母恒大于0不影響導函數(shù)符號,故考慮分子大于0,小于0的解集,討論a的范圍得到區(qū)間的單調(diào)性,分析就可以得到原函數(shù)在固定區(qū)間上的最值.
（2）設出切點坐標,利用切點滿足的三個條件（①切點在原函數(shù)上，坐標滿足原函數(shù)方程 ②切點在切線上，坐標滿足切線方程 ③原函數(shù)在切點處的導數(shù)為切線的斜率）建立關于a的方程，解方程求出a的值.
（3）由（2）的結(jié)論得到此時直線為曲線的切線,且分析原函數(shù)與切線的圖像可以發(fā)現(xiàn)曲線在直線下方,即可以發(fā)現(xiàn)在區(qū)間上不等式恒成立,作差即可嚴格證明該不等式是成立的.利用該不等式對放縮為可求和的式子,進而求的的最值,得到的取值范圍與最值.
試題解析：
（1），              2分
令，解得（負值舍去），
由，解得．
（ⅰ）當時，由，得，
在上的最大值為．              3分
（ⅱ）當時，由，得，
在上的最大值為．             4分
（ⅲ）當時，在時，，在時，，
在上的最大值為．         5分
（2）設切點為，則             6分
由，有，化簡得，
即或， ①
由，有，②
由①、②解得或．                 9分
（3）當時，，
由（2）的結(jié)論直線為曲線的切線，
，點在直線上，
根據(jù)圖像分析，曲線在直線下方．         10分
下面給出證明：當時，．
，
當時，，即．          12分
，
， ．
要使不等式恒成立，必須．         13分
又當時，滿足條件，
且，
因此，的最小值為．            14分