Question

（理）已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)與定直線(xiàn)l：的距離之比是常數(shù)．
（ I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C及其方程；
（ II）求過(guò)點(diǎn)Q（2，1）且與曲線(xiàn)C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)方程．

Answer 1

【答案】分析：（ I）利用雙曲線(xiàn)定義，可知到定點(diǎn)與定直線(xiàn)l：的距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)，在利用求雙曲線(xiàn)方程的方法去解即可．
（ II）與雙曲線(xiàn)C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有兩種，一種是與雙曲線(xiàn)相切，一種是平行漸近線(xiàn)，分兩種情況考慮即可．
解答：解：（ I）∵，
∴軌跡C為以F為右焦點(diǎn)，l為右準(zhǔn)線(xiàn)的雙曲線(xiàn)．
設(shè)雙曲線(xiàn)C方程為，則，
∴a²=4．
∴b²=c²-a²=5-4=1．
∴雙曲線(xiàn)方程為．
（Ⅱ）（1）若所求直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)x=2滿(mǎn)足題意．
（2）若所求直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線(xiàn)方程為y-1=k（x-2），
代入曲線(xiàn)方程，得：，
化簡(jiǎn)得：（1-4k²）x²+8k（2k-1）x-4（2k-1）²-4=0，
①當(dāng)（1-4k²）=0時(shí)，即時(shí)，
∵（2，1）在漸近線(xiàn)上，∴時(shí)不適合，舍去.時(shí)，直線(xiàn)平行于漸近線(xiàn)，滿(mǎn)足題意，
故所求直線(xiàn)方程為，即．
②當(dāng)（1-4k²）≠0時(shí)，由△=64k²（2k-1）²-16（4k²-1）（4k²-4k+2）=0，
得（舍去），綜上所述，所求直線(xiàn)方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線(xiàn)方程的求法，以及直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)位置關(guān)系的判斷，計(jì)算量較大，應(yīng)認(rèn)真計(jì)算．