Question

已知兩不共線的向量

a

，

b

的夾角為θ，且|

a

|=3，|

b

|=1，x為正實數．
（1）若

a

+2

b

與

a

-4

b

垂直，求tanθ；
（2）若對任意正實數x，向量x

a

-

b

的模不小于

1

2

，求θ的取值范圍；
（3）若θ為銳角，對于正實數m，關于x的方程|x

a

-

b

|=|m

a

|有兩個不同的正實數解，且x≠m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用(

a

+2

b

)⊥(

a

-4

b

)?(

a

+2

b

)•(

a

-4

b

)=0，即可解出；
（2）利用向量模的計算公式及變形利用基本不等式的性質及三角函數的單調性即可得出；
（3）利用向量模的計算公式、一元二次方程有兩個不等正實數根的充要條件、根與系數的關系即可解出．

解答：解：（1）∵(

a

+2

b

)⊥(

a

-4

b

)，∴(

a

+2

b

)•(

a

-4

b

)=0，化為

a

2-2

a

•

b

-8

b

2=0，
∴3²-2×3×1×cosθ-8×1²=0，解得cosθ=

1

6

，
又θ∈（0，π），∴sinθ=

1-( 1 6 )2

=

35

6

，∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

35

．
（2）∵|x

a

-

b

|=

(x a - b )2

=

9x2-6xcosθ+1

≥

1

2

，對x＞0恒成立，
即9x2-6xcosθ+

3

4

≥0，對于x＞0恒成立?cosθ≤

3x

2

+

1

8x

恒成立，對于x＞0．
∵

3x

2

+

1

8x

≥2

3x 2 × 1 8x

=

3

2

，當且僅當x=

3

6

時取等號，∴cosθ≤

3

2

，
∵θ∈（0，π），∴θ∈[

π

6

，π)．
（3）對于方程|x

a

-

b

|=|m

a

|兩邊平方得9x²-6xcosθ+1-9m²=0 （*）
設方程（*）的兩個不同正實數解為x₁，x₂，
則

△=(6cosθ)2-36(1-9m2)＞0 x1+x2= 6cosθ 9 ＞0 x1x2= 1-9m2 9 ＞0

得cosθ＞0，

1

3

sinθ＜m＜

1

3

，

若x=m，則方程（*）化為x=

1

6cosθ

，∵x≠m，∴m≠

1

6cosθ

．
令

1

3

sinθ＜

1

6cosθ

＜

1

3

，得

sin2θ＜1 cosθ＞ 1 2

解得0＜θ＜

π

3

，且θ≠

π

4

．
當0＜θ＜

π

3

且θ≠

π

4

時，m的取值范圍是{m|

1

3

sinθ＜m＜

1

3

且m≠

1

6cosθ

}；
當

π

3

≤θ＜

π

2

或θ=

π

4

時，m的取值范圍是{m|

1

3

sinθ＜m＜

1

3

}．

點評：熟練掌握向量垂直與數量積的關系、向量模的計算公式及變形利用基本不等式的性質、三角函數的單調性、一元二次方程有兩個不等正實數根的充要條件、根與系數的關系是解題的關鍵．