Question

已知函數(shù)。（為常數(shù)，）

（Ⅰ）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；

（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

（Ⅲ）若對(duì)任意的，總存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）實(shí)數(shù)的取值范圍為

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，先求出其導(dǎo)函數(shù)：，利用是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的結(jié)論，即時(shí)，它的導(dǎo)函數(shù)值為零，可令，即可求的值；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，由于含有對(duì)數(shù)函數(shù)，可通過(guò)求導(dǎo)來(lái)證明，因此利用：，在時(shí)，分析出因式中的每一項(xiàng)都大于等于0，即得，從而可證明結(jié)論；（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，在上的最大值為，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，不等式恒成立；然后再利用導(dǎo)函數(shù)研究不等式左邊的最小值看是否符合要求即可求實(shí)數(shù)的取值范圍為．

試題解析：

（Ⅰ）由已知，得且，

                                                      3分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， 

當(dāng)時(shí)，  又   

故在上是增函數(shù)                                         6分

（Ⅲ）時(shí)，由（Ⅱ）知，在上的最大值為

于是問(wèn)題等價(jià)于：對(duì)任意的，不等式恒成立。

記

則

當(dāng)時(shí)，  在區(qū)間上遞減，此時(shí)

由于，時(shí)不可能使恒成立，故必有

若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上，有

，與恒成立相矛盾，故，這時(shí)，

在上遞增，恒有，滿足題設(shè)要求，

     即

實(shí)數(shù)的取值范圍為                                       14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．