【題目】已知四棱錐,四邊形是正方形, .
(1)證明:平面平面;
(2)若為的中點(diǎn),求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)由可得,即,由為正方形,可得,從而得平面,由面面垂直的判定定理可得平面平面;(2)設(shè)的中點(diǎn)為,∵,∴,面面垂直的性質(zhì)可得平面,在平面內(nèi),過作直線,則兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn), 所在直線為軸, 軸, 軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面與平面的一個(gè)法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式,可得結(jié)果.
試題解析:(1)∵,
∴,即,
又∵為正方形,∴,
∵,
∴平面,∵平面,∴平面平面;
(2)
設(shè)的中點(diǎn)為,∵,∴,
由(1)可知平面平面,且平面平面,
∴平面,
在平面內(nèi),過作直線,則兩兩垂直.
以為坐標(biāo)原點(diǎn), 所在直線為軸, 軸, 軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
∴,
設(shè)平面的法向量為,
則, ,即,取,
設(shè)平面的法向量為,
則, ,即,取,
,由圖可知,二面角的余弦值為.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查面面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中與f(x)=x是同一函數(shù)的有( 。
①y=②y=③y=④y=⑤f(t)=t⑥g(x)=x
A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(xy)=f(x)+f(y).
(1) 若x,y∈R,求f(1),f(-1)的值; (2)若x,y∈R,判斷y=f(x)的奇偶性;
(3)若函數(shù)f(x)在其定義域(0,+∞)上是增函數(shù),f(2)=1,f(x)+f(x-2)≤3,求x的取值范圍。
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【題目】某市“招手即!惫财嚨钠眱r(jià)按下列規(guī)則制定:
5公里以內(nèi)(含5公里),票價(jià)2元;
5公里以上,每增加5公里,票價(jià)增加1元(不足5公里的按5公里計(jì)算).如果某條線路的總里程為20公里,請(qǐng)根據(jù)題意.
(1)寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)(1)寫出的函數(shù)解析式試畫出該函數(shù)的圖象.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩個(gè)隨機(jī)變量x,y的取值表為
x | 0 | 1 | 3 | 4 |
y | 2.2 | 4.3 | 4.8 | 6.7 |
若x,y具有線性相關(guān)關(guān)系,且 = x+2.6,則下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.x與y是正相關(guān)
B.當(dāng)x=6時(shí),y的估計(jì)值為8.3
C.x每增加一個(gè)單位,y增加0.95個(gè)單位
D.樣本點(diǎn)(3,4.8)的殘差為0.56
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱豬ABCD﹣A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,A1A=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).
(1)證明:B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值.
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【題目】已知點(diǎn)與點(diǎn)的距離比它的直線的距離小2.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)是點(diǎn)軌跡上互相垂直的兩條弦,問:直線是否經(jīng)過軸上一定點(diǎn),若經(jīng)過,求出該點(diǎn)坐標(biāo);若不經(jīng)過,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,若在上為增函數(shù),則稱為“一階比增函數(shù)”.
(1)若是“一階比增函數(shù)”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
(2)若是“一階比增函數(shù)”,求證:對(duì)任意,,總有;
(3)若是“一階比增函數(shù)”,且有零點(diǎn),求證:關(guān)于x的不等式有解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為, ,過點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn), 的面積為,橢圓的離心力為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),直線: 與軸交于點(diǎn),與橢圓交于, 兩個(gè)不同的點(diǎn),若存在實(shí)數(shù),使得,求的取值范圍.
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