Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+ ，其中a為大于零的常數．．
（1）若函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）內單調遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值；
（3）求證：對于任意的n∈N* ， 且n＞1時，都有l(wèi)nn＞ + +…+ 成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，f′（x）= ﹣ = ，

∵a為大于零的常數，

若使函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調遞增，

則使ax﹣1≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，

即a﹣1≥0，

故a≥1

（2）解：當a≥1時，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，

這時f（x）在[1，2]上為增函數∴f（x）min=f（1）=0．

當0＜a≤ ，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，

這時f（x）在[1，2]上為減函數∴f（x）min=f（2）=ln2﹣ ，

當 ＜a＜1時，令f′（x）=0，得x= ∈（1，2）．

又∵對于x∈[1， ）有f′（x）＜0，

對于x∈（ ，2]有f′（x）＞0，

∴f（x）min=f（ ）=ln +1﹣ ，

綜上，f（x）在[1，2]上的最小值為

①當0＜a≤ 時，f（x）min=ln2﹣ ；

②當 .＜a＜1時，f（x）min=ln +1﹣ ．

③當a≥1時，f（x）min=0

（3）證明：由（1）知函數f（x）= ﹣1+lnx在[1，+∞）上為增函數，

當n＞1時，∵ ＞1，∴f（ ）＞f（1），

即lnn﹣ln（n﹣1）＞ ，對于n∈N*且n＞1恒成立．

lnn=[lnn﹣ln（n﹣1）]+[ln（n﹣1）﹣ln（n﹣2）]++[ln3﹣ln2]+[ln2﹣ln1]＞ + +…+ ，

∴對于n∈N*，且n＞1時，lnn＞ + +…+ 恒成立

【解析】（1）求導，將函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調遞增化為導數恒不小于0，從而求a的取值范圍；（2）研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最小值．（3）由（1）知函數f（x）= ﹣1+lnx在[1，+∞）上為增函數，構造n與n﹣1的遞推關系，可利用疊加法求出所需結論
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．