設(shè)函數(shù)fn(x)=-1+
x
1!
+
x2
2!
+…+
xn
n!
，(x∈R，n∈N*)
（1）證明對(duì)每一個(gè)n∈N*，存在唯一的xn∈[
1
2
，1]，滿足fn（xn）=0；
（2）由（1）中的xn構(gòu)成數(shù)列{xn}，判斷數(shù)列{xn}的單調(diào)性并證明；
（3）對(duì)任意p∈N*，xn，xn+p滿足（1），試比較|xn-xn+p|與
1
n
的大小．
分析：（1）本小題即證明函數(shù)在[
1
2
，1]內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，由零點(diǎn)判定定理可得零點(diǎn)所在區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得零點(diǎn)的唯一性；
（2）只需判斷xn與xn+1的大小關(guān)系即可，由（1）可知fn（x）在（0，+∞）上遞增，根據(jù)fn(xn+1)=-1+xn+1+
x
2
n+1
2!
+…+
x
n
n+1
n!
，及fn+1(xn+1)=-1+xn+1+
x
2
n+1
2!
+…+
x
n
n+1
n!
+
x
n+1
n+1
(n+1)!
=fn(xn+1)+
x
n+1
n+1
(n+1)!
=0，可判斷fn（xn+1）與0=fn（xn）的大小關(guān)系，再根據(jù)fn（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性可作出xn與xn+1的大小比較；
（3）由數(shù)列{xn}單調(diào)性可知xn-xn+p＞0，由xn，xn+p滿足（1）知，fn(xn)=-1+xn+
x
2
n
2!
+…+
x
n
n
n!
=0，fn+p(xn+p)=-1+xn+p+
x
2
n+p
2!
+…+
x
n
n+p
n!
+
x
n+1
n+p
(n+1)!
+…+
x
n+p
n+p
(n+p)!
=0，兩式相減：并結(jié)合x(chóng)n+p-xn＜0，以及xn∈[
1
2
，1]可表示出xn-xn+p，利用不等式進(jìn)行放縮可證明；
解答：解：（1）f′n(x)=1+x+
x2
2!
+…+
xn-1
(n-1)!
，
顯然，當(dāng)x＞0時(shí)，f'n（x）＞0，
故fn（x）在（0，+∞）上遞增．
又fn(1)=-1+1+
1
2!
+…+
1
n!
≥0，fn(
1
2
)=-1+
1
2
+
(
1
2
)2
2!
+…+
(
1
2
)n
n!
＜-1+
1
2
+(
1
2
)2+…+(
1
2
)n=-1+
1
2
(1-(
1
2
)n)
1-
1
2
=-(
1
2
)n＜0，
故存在唯一的xn∈[
1
2
，1]，滿足fn（xn）=0；
（2）由（1）知fn（x）在（0，+∞）上遞增，
∵fn(xn+1)=-1+xn+1+
x
2
n+1
2!
+…+
x
n
n+1
n!
，
∴fn+1(xn+1)=-1+xn+1+
x
2
n+1
2!
+…+
x
n
n+1
n!
+
x
n+1
n+1
(n+1)!
=fn(xn+1)+
x
n+1
n+1
(n+1)!
=0，
∴fn(xn+1)=-
x
n+1
n+1
(n+1)!
＜0=fn(xn)，
由（1）知fn（x）在（0，+∞）上遞增，
故xn+1＜xn，即數(shù)列{xn}單調(diào)遞減．
（3）由（2）知數(shù)列{xn}單調(diào)遞減，故xn-xn+p＞0，
而fn(xn)=-1+xn+
x
2
n
2!
+…+
x
n
n
n!
=0，fn+p(xn+p)=-1+xn+p+
x
2
n+p
2!
+…+
x
n
n+p
n!
+
x
n+1
n+p
(n+1)!
+…+
x
n+p
n+p
(n+p)!
=0，
兩式相減：并結(jié)合x(chóng)n+p-xn＜0，以及xn∈[
1
2
，1]，得
xn-xn+p=
n
k=2
x
k
n+p
-
x
k
n
k!
+
n+p
k=n+1
x
k
n+p
k!
            ＜
n+p
k=n+1
x
k
n+p
k!
≤
n+p
k=n+1
1
k!
＜
n+p
k=n+1
1
k(k-1)
            =
n+p
k=n+1
[
1
k-1
-
1
k
]=
1
n
-
1
n+p
＜
1
n

所以有|xn-xn+p|＜
1
n
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，本題綜合性強(qiáng)，對(duì)能力要求高．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)fn(x)=xn+x-1，其中n∈N*，且n≥2，給出下列三個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f2（x）在區(qū)間（
1
2
，  1）內(nèi)不存在零點(diǎn)；
②函數(shù)f3（x）在區(qū)間（
1
2
，  1）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；
③?n∈N*，且n≥4，函數(shù)fn（x）在區(qū)間(
1
2
，  1)內(nèi)存在零點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為
②③
②③
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•陜西）設(shè)函數(shù)fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
（1）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：fn（x）在區(qū)間(
12
，1)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（2）設(shè)n為偶數(shù)，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最小值和最大值；
（3）設(shè)n=2，若對(duì)任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•鹽城二模）設(shè)函數(shù)fn(x)=-xn+3ax+b（n∈N*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f3（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若對(duì)任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f3（x1）-f3（x2）|≤1，求a的取值范圍；
（3）若|f4（x）|在[-1，1]上的最大值為
12
，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)fn(x)=xn(1-x)2在[
12
，1]上的最大值為an（n∈N+）．
（1）求a1，a2的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
（Ⅰ）當(dāng)b＞0時(shí)，判斷函數(shù)fn（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：fn（x）在區(qū)間(
12
，1)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（Ⅲ）設(shè)n=2，若對(duì)任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范圍．

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