Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.為橢圓的左頂點(diǎn)，為橢圓上異于的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn).

（I）求橢圓的方程；

（II）若與的面積之比為，求的坐標(biāo)；

（III）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，求證：.

Answer 1

【答案】（I）（II）的坐標(biāo)為或.（III）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意得c＝1，結(jié)合離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（Ⅱ）由△PAF與△PMF的面積之比為，可得．設(shè)M（4，m）（m≠0），P（x0，y0），則，求得．將其代入，解得m＝±9．則M的坐標(biāo)可求；（Ⅲ）設(shè)M（4，m），N（4，n），P（x0，y0），分析可得m≠0，n≠0．直線AM的方程為．聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得P的坐標(biāo)，利用利用對(duì)稱性證明若P，F，Q三點(diǎn)共線，則∠MFR＝∠FNR．

（I）由題意得解得

因?yàn)?/span>，所以.

所以橢圓的方程為.

（II）因?yàn)?/span>與的面積之比為，

所以.

所以.

設(shè)，則，

解得.

將其代入，解得.

所以的坐標(biāo)為或.

（III）設(shè)，

若，則為橢圓的右頂點(diǎn)，由三點(diǎn)共線知，為橢圓的左頂點(diǎn)，

不符合題意.

所以.同理.

直線的方程為.

由消去，整理得.

成立.

由，解得.

所以.

所以.

當(dāng)時(shí)，，，即直線軸.

由橢圓的對(duì)稱性可得.

又因?yàn)?/span>，

所以.

當(dāng)時(shí)，，

直線的斜率.

同理.

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，

所以.

所以.

在和中，

，，

所以.

因?yàn)?/span>均為銳角，

所以.

綜上，若三點(diǎn)共線，則.