Question

設y=f(x)是定義在區(qū)間［-1,1］上的函數(shù),且滿足條件:

①f(-1)=f(1)=0;

②對任意u,v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)證明對任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)證明對任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1;

(3)在區(qū)間［-1,1］上是否存在滿足條件的奇函數(shù)y=f(x),且使得

若存在,請舉一例;若不存在,請說明理由.

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明:由題設條件可知,當x∈［-1,1］, |f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x, 即x-1≤f(x)≤1-x. (2)證明:對任意的u,v∈［-1,1］, 當|u-v|≤1時,有|f(u)-f(v)|≤|u-v|≤1. 當|u-v|＞1時,有u·v＜0. 不妨設u＜0,則v＞0且v-u＞1, 所以|f(u)-f(v)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤|u+1|+|v-1|=1+u+1-v=2-(v-u)＜1. 綜上可知,對任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1. (3)解析:滿足所述條件的函數(shù)不存在,理由如下:假設存在函數(shù)f(x)滿足條件, 則由|f(u)-f(v)|=|u-v|,u,v∈［,1］得 |f()-f(1)|=|-1|=. 又f(1)=0,所以|f()|=.① 又因為f(x)為奇函數(shù),所以f(0)=0. 由條件|f(u)-f(v)|＜|u-v|,u,v∈［0,］得 |f()|=|f()-f(0)|＜.② ①與②矛盾,所以假設不成立,即這樣的函數(shù)不存在.