Question

（本題滿分12分）

    已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】本題考查橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．

（1）由已知橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1，可得：a+c=3，a-c=1，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與橢圓方程聯(lián)立，利用以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），結(jié)合根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解，即可求得結(jié)論．

解：（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由已知得：，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為-------4分

（2）設(shè)

聯(lián)立   得，則----5分

-----8分

又

因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916570941016892/SYS201211191658044257913298_DA.files/image013.png">為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，

，即

-

解得：，且均滿足------9分

當(dāng)時(shí)，的方程，直線過點(diǎn)，與已知矛盾；

當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)

所以，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為------12分