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在平面直角坐標系中，已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓與拋物線有一個公共的焦點，且過點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設點是橢圓在第一象限上的任一點,連接,過點作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個公共點,設直線的斜率分別為,,試證明為定值,并求出這個定值；
（III）在第(Ⅱ)問的條件下，作，設交于點，
證明:當點在橢圓上移動時，點在某定直線上.
（Ⅰ）橢圓的方程為；(Ⅱ)3；（III）點在直線上.

試題分析：（Ⅰ）由拋物線的焦點求出橢圓的焦點，又橢圓過點，得：，
且，，解方程組可得橢圓的方程：
(Ⅱ)設出切點的坐標和切線的方程，利用直線和橢圓相切的條件，證明為定值.
（III）利用(Ⅱ)的結果,由,寫出直線的方程,可解出交于點
的坐標,進而證明當點在橢圓上移動時，點在某定直線上.

試題解析：(Ⅰ)由題意得 ，
又，         2分
消去可得，，解得或（舍去），則，
求橢圓的方程為．        4分
(Ⅱ)設直線方程為，并設點，
由.
，         6分
，當時，直線與橢圓相交，所以，，
由得，，       8分
，整理得：.而,代入中得
為定值.        10分
（用導數求解也可，若直接用切線公式扣4分，只得2分）
（III）的斜率為：，又由,
從而得直線的方程為：,聯立方程,
消去得方程，因為， 所以 ，
即點在直線上.         14分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓： 的離心率為 ，點 為其下焦點，點為坐標原點，過 的直線 ：（其中）與橢圓 相交于兩點，且滿足：.

（1）試用  表示 ；
（2）求  的最大值；
（3）若 ，求  的取值范圍.

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在平面直角坐標系中，已知點，動點在軸上的正射影為點，且滿足直線.
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）當時，求直線的方程.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為、，橢圓上的點滿足，且的面積．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線，使與橢圓交于不同的兩點、，且線段恰被直線平分？若存在，求出的斜率取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知線段MN的兩個端點M、N分別在軸、軸上滑動，且，點P在線段MN上，滿足，記點P的軌跡為曲線W．
(1)求曲線W的方程，并討論W的形狀與的值的關系；
(2)當時，設A、B是曲線W與軸、軸的正半軸的交點，過原點的直線與曲線W交于C、D兩點，其中C在第一象限，求四邊形ACBD面積的最大值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知是拋物線上的兩個點，點的坐標為，直線的斜率為k， 為坐標原點.
（Ⅰ）若拋物線的焦點在直線的下方，求k的取值范圍；
（Ⅱ）設C為W上一點，且，過兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為，求的最小值.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓過定點，圓心在拋物線上，、為圓與軸的交點．
（1）當圓心是拋物線的頂點時，求拋物線準線被該圓截得的弦長．
（2）當圓心在拋物線上運動時，是否為一定值？請證明你的結論．
（3）當圓心在拋物線上運動時，記，，求的最大值，并求出此時圓的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓的離心率，右焦點為，方程的兩個實根，，則點（   ）
A．必在圓內B．必在圓上
C．必在圓外D．以上三種情況都有可能

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

過拋物線焦點的弦，過兩點分別作其準線的垂線，垂足分別為，傾斜角為，若，則
①；．②，
③， ④ ⑤
其中結論正確的序號為                

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