Question

四棱錐中，側(cè)面⊥底面，底面是邊長為的正方形，又，，分別是的中點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析；(2)

【解析】本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質(zhì)及用空間向量求平面間的夾角，其中求二面角的值時，一是幾何法，關鍵是找到二面有的平面角，二是向量法，關鍵是求出兩個平面的法向量．

（1）取AD的中點O，連接OP，OE，由等腰三角形三線合一，及OE∥AB，可得OE⊥AD，又由側(cè)面PAD⊥底面ABCD，我們易得到AD⊥平面OPE．再由線面垂直的性質(zhì)定理可得到AD⊥PE；再證明AD⊥EO

（2）有兩種解法，一是取OE的中點F，連接FG，OG，結(jié)合（1）的結(jié)論，我們易得∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角，解三角形GOE即可得到答案；二是建立空間坐標系，確定各個頂點的坐標，及平面ADE及平面ADG的法向量，然后代入向量夾角公式，我們易求出二面角E-AD-G的余弦值，進而求出二面角E-AD-G的正切值．

(1)∵，∴，……………………2分

又是的中點，∴OE∥AB，∴OE⊥AD. ……………………4分

又OP∩OE＝0，∴AD⊥平面OPE.  ……………………6分

(2)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，E(0,2,0)，