定義在R上的函數(shù),對任意x1,x2∈R,都有f(
x1+x2
2
)≥
1
2
[f(x1)+f(x2)]
,則稱函數(shù)f(x)是R上的凸函數(shù).已知二次函數(shù)f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0).
(1)求證:當a<0時,函數(shù)f(x)是凸函數(shù);
(2)對任意x∈(0,1],f(x)≥-1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)利用作差法證明,即要證:f(
x1+x2
2
)≥
1
2
[f(x1)+f(x2)]
,只要證:f(
x1+x2
2
)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥0
;
(2)首先根據(jù)自變量的范圍進行分離常數(shù),然后問題就轉化為函數(shù)求最值的問題,從而求出實數(shù)a的取值范圍.
解答:(1)證明:f(
x1+x2
2
)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]

=a(
x1+x2
2
)2+
x1+x2
2
-
1
2
(a
x
2
1
+x1+a
x
2
2
+x2)

=-a(
x1-x2
2
)2
,
又a<0,故f(
x1+x2
2
)≥
1
2
[f(x1)+f(x2)]
,
所以當a<0時,函數(shù)f(x)是凸函數(shù),命題得證.----------(5分)
(2)解:∵對任意x∈(0,1],f(x)≥-1恒成立.
a≥-(
1
x
)2-
1
x
在(0,1]上恒成立,
a≥[-(
1
x
)
2
-
1
x
] max
=2則a≥-2,------(8分)
又a≠0,故a≥-2且a≠0.----------(10分)
點評:本題主要考查了凸函數(shù)的證明,以及函數(shù)恒成立問題和二次函數(shù)的最值,同時考查了轉化的思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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設f(x)是定義在R上的函數(shù),對m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且當x>0時,0<f(x)<1.
(1)求證:f(0)=1;
(2)求證:當x∈R時,恒有f(x)>0;
(3)求證:f(x)在R上是減函數(shù).

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設f(x)是定義在R上的函數(shù),對任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)•f(y),當x>0時,有0<f(x)<1.
(1) 求證:f(0)=1,且當x<0時,f(x)>1;
(2) 證明:f(x)在R上單調遞減.

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