如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求△AMN的最大面積.

直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8.


解析:

由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.

由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0                              ①

∵直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，

∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,

解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,

∴|MN|=4.

點(diǎn)A到直線l的距離為d=.

∴S△=2(5+m),從而S△2=4(1－m)(5+m)2

=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.

∴S△≤8,當(dāng)且僅當(dāng)2－2m=5+m,即m=－1時(shí)取等號(hào).

故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8.

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相關(guān)習(xí)題

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如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），傾斜角為
π
4
的直線l與線段OA相交（不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A）且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積 最大時(shí)直線l的方程，并求△AMN的最大面積
8
2
8
2
．

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如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在拋物線上．當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，直線AB的斜率為定值．這個(gè)定值為
-1
-1
．

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如圖所示，拋物線y2＝2px(p＞0)，過動(dòng)點(diǎn)M(a，0)且斜率為1的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，

(1)若|AB|≤2p，求a的取值范圍；

(2)若線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)N，求△MNQ的面積．

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如圖所示,過拋物線y2=2px的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦交拋物線于A、B兩點(diǎn).

(1)證明直線AB過定點(diǎn);

(2)求△AOB面積的最小值.

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