Question

【題目】如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)B1在底面內(nèi)的射影恰好是BC的中點(diǎn)，且BC=CA=2．
（1）求證：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
（2）若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值為 ，求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．

Answer 1

【答案】
（1）解：取BC中點(diǎn)M，連接B1M，則B1M⊥平面ACB，

∴B1M⊥AC

又AC⊥BC，且B1M∩BC=M，∴AC⊥平面B1C1CB

因?yàn)锳C平面ACC1A1，所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB

（2）解：

以CA為ox軸，CB為oy軸，過(guò)點(diǎn)C與面ABC垂直方向?yàn)閛z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系CA=BC=2，設(shè)B1M=t，則A（2，0，0），

B（0，2，0），M（0，1，0），B1（0，1，t），C1（0，﹣1，t）

即

設(shè)面AB1B法向量 ，

∴ ，

同理面AB1C1法向量

因?yàn)槎�面角B﹣AB1﹣C1的余弦值為 ，

∴ ，

∴t4+29t2﹣96=0

∴t2=3，

所以斜三棱柱的高為 ．

【解析】（1）取BC中點(diǎn)M，連接B1M，證明B1M⊥AC，AC⊥BC，AC⊥平面B1C1CB，然后證明平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）以CA為ox軸，CB為oy軸，過(guò)點(diǎn)C與面ABC垂直方向?yàn)閛z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)B1M=t，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面AB1B法向量，平面AB1C1法向量，利用二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值為 ， 轉(zhuǎn)化求解斜三棱柱的高即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直．