Question

一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為6的兩個(gè)全等的等腰直角三角形．

(Ⅰ)請(qǐng)畫(huà)出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；

(Ⅱ)用多少個(gè)這樣的幾何體可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁？試畫(huà)出圖形；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下，設(shè)正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中點(diǎn)為E，求平面AB₁E與平面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)該幾何體的直觀圖如圖所示，它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．其中底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，高為CC1＝6，故所求體積是(4分) 　　(Ⅱ)依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，故用3個(gè)這樣的四棱錐可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體，其拼法如圖所示． 　　證明：∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的正方形，于是 　　故所拼圖形成立．(4分) 　　(Ⅲ)方法一：設(shè)B1E，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G，連結(jié)GA，在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG，垂足為H，連結(jié)HB1，則B1H⊥AG，故∠B1HB為平面AB1E與平面ABC所成二面角或其補(bǔ)角的平面角． 　　在Rt△ABG中，，則 　　，， 　　，故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為．(4分)