Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）若定義在[-2010，2010]上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x₁，x₂∈[-2010，2010]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2009，且x＞0時有f（x）＞2009，f（x）的最大值、最小值分別為M、N，則M+N=（　�。�

A．2009

B．2010

C．4020

D．4018

Answer 1

分析：令g（x）=f（x）-2009，則由已知可得f（x₁+x₂）-2009=[f（x₁）-2009]+[f（x₂）-2009]，即g（x₁+x₂）=g（x₁）+g（x₂）且 x＞0時，g（x）＞0，，利用賦值可求g（0）=0；令x₁=x，x₂=-x，，可得 g（-x）=-g（x），即 g（x）是奇函數(shù)，從而有若 g（x） 最大值為m，則最小值為-m，可得f（x）=g（x）+2009 得 f（x） 最大值為m+2009，最小值為-m+2009，代入可求

解答：解：令g（x）=f（x）-2009，則由已知對任意x₁，x₂∈[-2010，2010]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2009，
f（x₁+x₂）-2009=[f（x₁）-2009]+[f（x₂）-2009]，
可得g（x₁+x₂）=g（x₁）+g（x₂）且 x＞0時，g（x）＞0
令x₁=x₂=0可得g（0）=0
 令x₁=x，x₂=-x，則可得g（0）=g（-x）+g（x）=0，則 g（-x）=-g（x），所以 g（x）是奇函數(shù)
若 g（x） 最大值為m，則最小值為-m
因此，由f（x）=g（x）+2009 得 f（x） 最大值為m+2009，最小值為-m+2009，
所以 M+N=m+2009+（-m）+2009=4018
故選D

點評：本小題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、利用賦值求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，解題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造整體求解，屬于中檔題．