Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB⊥DM；
（Ⅱ）求BD與平面ADMN所成的角．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）因?yàn)镹是PB的中點(diǎn)，PA=AB，要證PB⊥DM，只需證明PB垂直DM所在平面ADMN．即可．
（Ⅱ）連接DN，說明∠BDN是BD與平面ADMN所成的角，在Rt△BDN中，解BD與平面ADMN所成的角．
法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)BC=1，（Ⅰ）求出

PB

，

DM

；計(jì)算

PB

•

DM

=0，就證明PB⊥DM．
（Ⅱ）說明＜

PB

•

AD

＞的余角即是BD與平面ADMN所成的角，求出cos＜

PB

•

AD

＞=

π

3

，即可得到BD與平面ADMN所成的角．

解答：解：方法一：
（Ⅰ）因?yàn)镹是PB的中點(diǎn)，PA=AB，
所以AN⊥PB．

因?yàn)锳D⊥面PAB，
所以AD⊥PB．
從而PB⊥平面ADMN．因?yàn)镈M?平面ADMN
所以PB⊥DM．
（Ⅱ）連接DN，
因?yàn)镻B⊥平面ADMN，
所以∠BDN是BD與平面ADMN所成的角．
在Rt△BDN中，sin∠BDN=

BN

BD

=

1

2

，
故BD與平面ADMN所成的角是

π

6

．
方法二：
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)BC=1，
則A（0，0，0）P（0，0，2），B（2，0，0），M（1，12，1），D（0，2，0）
（Ⅰ）因?yàn)?span id="bvgtvm6" class="MathJye">

PB

•

DM

=(2，0，-2)(1，-

3

2

，1)=0
所以PB⊥DM．
（Ⅱ）因?yàn)?span id="ekwpznz" class="MathJye">

PB

•

AD

=(2，0，-2)•(0，2，0)=0
所以PB⊥AD．
又PB⊥DM．
因此＜

PB

•

AD

＞的余角即是BD與平面ADMN．
所成的角．
因?yàn)?span id="txfvkbt" class="MathJye">cos＜

PB

•

AD

＞=

π

3

所以＜

PB

•

AD

＞=

π

3

因此BD與平面ADMN所成的角為

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面所成的角，考查邏輯思維能力，計(jì)算能力，是中檔題．