Question

已知圓C：x²+y²-6x-4y+4=0，直線l₁被圓所截得的弦的中點(diǎn)為P（5，3）．
①求直線l₁的方程．
②若直線l₂：x+y+b=0與圓C相交，求b的取值范圍．
③是否存在常數(shù)b，使得直線l₂被圓C所截得的弦的中點(diǎn)落在直線l₁上？若存在，求出b的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l₁的斜率為則k，由題意可得圓心C（3，2），又弦的中點(diǎn)為P（5，3），可求得k_PC=

1

2

，由k•k_PC=-1可求k，從而可求直線l₁的方程；
（2）若直線l₂：x+y+b=0與圓C相交，圓心到直線l₂的距離小于半徑，從而可求得b的取值范圍；
（3）設(shè)直線l₂被圓C解得的弦的中點(diǎn)為M（x_°，y_°），由直線l₂與CM垂直，可得x_°-y_°-1=0，與x_°+y_°+b=0聯(lián)立可求得x₀，y₀，代入直線l₁的方程，求得b，驗(yàn)證即可．

解答：解：①∵圓C的方程化標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-3）²+（y-2）²=9，
∴圓心C（3，2），半徑r=3．設(shè)直線l₁的斜率為則k，則
k=-

1

kPC

=-

1

1 2

=-2．
∴直線l₁的方程為：y-3=-2（x-5）即2x+y-13=0．
②∵圓的半徑r=3，
∴要使直線l₂與圓C相交則須有：

|3+2+b|

2

＜3，
∴|5|＜3

2

于是b的取值范圍是：-3

2

-5＜b＜3

2

-5．
③設(shè)直線l₂被圓C解得的弦的中點(diǎn)為M（x_°，y_°），則直線l₂與CM垂直，于是有：

y°-2

x°-3

=1，
整理可得：x_°-y_°-1=0．
又∵點(diǎn)M（x_°，y_°）在直線l₂上，
∴x_°+y_°+b=0
∴由

x°-y°-1=0 x°+y°+b=0

解得：

x°= 1-b 2 y°=- 1+b 2

代入直線l₁的方程得：1-b-

1+b

2

-13=0，
∴b=-

25

3

∈（-3

2

-5，3

2

-5），
故存在滿足條件的常數(shù)b．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，著重考查通過(guò)圓心到直線間的距離與圓的半徑的大小判斷二者的位置關(guān)系，屬于中檔題．