Question

某特許專營店銷售上海世博會(huì)紀(jì)念章，每枚紀(jì)念章進(jìn)價(jià)5元，同時(shí)，每銷售1枚需交2元特許經(jīng)營費(fèi)．預(yù)測這種紀(jì)念章以每枚20元的價(jià)格出售，一年可銷售2000枚．市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，銷售價(jià)格在每枚20元的基礎(chǔ)上，每減少1元，銷售量增加400枚；每增加1元，銷售量減少100枚．現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章銷售價(jià)為x元．
（1）把該專營店一年內(nèi)銷售這種紀(jì)念章所獲得利潤y（元）表示為x的函數(shù)，并寫出定義域；
（2）問x取何值時(shí)，利潤y（元）最大．

Answer 1

分析：（1）分析題設(shè)條件，能夠求出y=

400(25-x)(x-7)，0＜x≤20 100(40-x)(x-7)，20＜x＜40

，定義域?yàn)椋?，40）．
（2）當(dāng)0＜x≤20時(shí)，當(dāng)x=16時(shí)，y_max=32400元；當(dāng)20＜x＜40時(shí)，當(dāng)x=

47

2

時(shí)，y_max=27225元．由此能夠求出當(dāng)x=16時(shí)，利用y最大．

解答：（本題滿分12分）
解：（1）由題設(shè)條件知：
y=

[2000+400(20-x)](x-7).0＜x≤20 [2000-100(x-20)](x-7)，20＜x＜40

=

400(25-x)(x-7)，0＜x≤20 100(40-x)(x-7)，20＜x＜40

，
定義域?yàn)椋?，40）．
（2）當(dāng)0＜x≤20時(shí)，
∵y=400（25-x）（x-7）=-400x²+12800x-70000
=-400（x-16）²+32400，
∴當(dāng)x=16時(shí)，y_max=32400元；
當(dāng)20＜x＜40時(shí)，
∵y=100（40-x）（x-7）=-100（x-

47

2

）²+27225，
∴當(dāng)x=

47

2

時(shí)，y_max=27225元．
故當(dāng)x=16時(shí)，利用y最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的表達(dá)式的求法，考查函數(shù)的最大值的求法及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．