Question

設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）（x≥0）到定點(diǎn)F（2，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程C；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）依題意知，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F（2，0）的距離等于M到直線(xiàn)x=-2的距離，由拋物線(xiàn)的定義求出曲線(xiàn)C的方程；
（II）設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my+2，代入拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）依題意知，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F（2，0）的距離等于M到直線(xiàn)x=-2的距離，
曲線(xiàn)C是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，F(xiàn)（2，0）為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)．
∴曲線(xiàn)C的方程是y²=8x．
（II）設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my+2，代入拋物線(xiàn)方程，可得：y²-8my-16=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
∴△AOB的面積==≥8，即△AOB的面積最小值為8．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了軌跡方程，考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．