Question

【題目】若f（x）=x2﹣x+b，且f（log2a）=b，log2f（a）=2（a＞0且a≠1），
（1）求a，b；
（2）求f（log2x）的最小值及相應 x的值；
（3）若f（log2x）＞f（1）且log2f（x）＜f（1），求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f （x）=x2﹣x+b，∴f （log2a）=（log2a）2﹣loga+b=b，

∴l(xiāng)og2a=1，∴a=2．

又∵log2f（a）=2，f（a）=4．∴a2﹣a+b=4，∴b=2．

（2）解：由（1）得f （x）=x2﹣x+2

∴f （log2x）=（log2x）2﹣log2x+2=（log2x﹣ ）2+ ，

∴當log2x= ，即x= 時，f （log2x）有最小值 ．

（3）解：由題意知： ，

解得 ，

∴ ，

∴0＜x＜1

【解析】（1）代入利用對數(shù)的運算性質即可得出．（2）利用二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性即可得出．（3）由題意知： ，利用一元二次不等式的解法、對數(shù)函數(shù)的單調性即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數(shù)的性質和對數(shù)的運算性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減；①加法：②減法：③數(shù)乘：④⑤．