Question

請認真閱讀下列程序框圖：已知程序框圖中的函數(shù)關(guān)系式為f(x)=

4x-2

x+1

，程序框圖中的D為函數(shù)f（x）的定義域，把此程序框圖中所輸出的數(shù)x_i組成一個數(shù)列{x_n}．
（1）輸入x0=

49

65

，請寫出數(shù)列{x_n}的所有項；
（2）若輸入一個正數(shù)x₀時，產(chǎn)生的數(shù)列{x_n}滿足：任意一項x_n，都有x_n＜x_n+1，試求正數(shù)x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f(x)=

4x-2

x+1

，x0=

49

65

及程序框圖，注意函數(shù)的定義域，直接可求得數(shù)列{x_n}的只有三項；
（3）要使對任意正整數(shù)n，均有x_n＜x_n+1，則必須

4xn-2

xn+1

＞xn，得1＜x_n＜2，要使任意一項x_n，都有x_n+1＞x_n，須（x₀-2）（x₀-1）＜0，解得：1＜x₀＜2，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）當x0=

49

65

時，
x1=f(

49

65

)=

11

19

，x2=f(

11

19

)=

1

5

，x3=f(

1

5

)=-1
所以輸出的數(shù)列為

11

19

，

1

5

，-1
（2）由題意知 xn+1=f(xn)=

4xn-2

xn+1

＞xn，
因為x₀＞0，∴x_n＞0，有：

4xn-2

xn+1

＞xn
得4x_n-2＞x_n（x_n+1）
即xn2-3xn+2＜0，即（x_n-2）（x_n-1）＜0
要使任意一項x_n，都有x_n+1＞x_n，
須滿足（x₀-2）（x₀-1）＜0，解得：1＜x₀＜2，
所以當正數(shù)x₀在（1，2）內(nèi)取值時，所輸出的數(shù)列{x_n}對任意正整數(shù)n滿足x_n＜x_n+1．

點評：本小題主要考查數(shù)列與算法的簡單結(jié)合、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．