【題目】設，分別是橢圓的左，右焦點，兩點分別是橢圓的上，下頂點，是等腰直角三角形，延長交橢圓于點，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設點是橢圓上異于的動點，直線與直分別相交于兩點，點，求證：的外接圓恒過原點.

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)的周長為，利用定義可解得，再根據(jù)是等腰直角三角形得到即可.

（2）設，根據(jù)直線與的斜率之積為，設直線的斜率為，則直線，，然后由，可得的坐標，同理得到的坐標，再利用中垂線定理，求得圓心E，驗證即可.

（1）∵的周長為，由定義可知，，，

∴，∴，

又∵是等腰直角三角形，且，∴，

∴橢圓的方程為；

（2）設，則，

∴直線與的斜率之積為，

設直線的斜率為，則直線，，

由，可得，同理，

∴線段與的中垂線交點，

又，

，

∴，

即共圓，

∴故的外接圓恒過定點

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年冬奧會申辦成功，讓中國冰雪項目迎來了新的發(fā)展機會，“十四冬”作為北京冬奧會前重要的練兵場，對冰雪運動產(chǎn)生了不可忽視的帶動作用．某校對冰雪體育社團中甲、乙兩人的滑輪、雪合戰(zhàn)、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯臥式爬犁6個冬季體育運動項目進行了指標測試（指標值滿分為5分，分高者為優(yōu)），根據(jù)測試情況繪制了如圖所示的指標雷達圖．則下面敘述正確的是（ ）

A.甲的輪滑指標高于他的雪地足球指標

B.乙的雪地足球指標低于甲的冰尜指標

C.甲的爬犁速降指標高于乙的爬犁速降指標

D.乙的俯臥式爬犁指標低于甲的雪合戰(zhàn)指標

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，.

（1）證明：平面；

（2）若且，為線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知為坐標原點，拋物線上一點到焦點的距離為，若點為拋物線準線上的動點，給出以下命題：

①當為正三角形時，的值為；

②存在點，使得；

③若，則等于；

④的最小值為，則等于或.

其中正確的是（ ）

A.①③④B.②③C.①③D.②③④

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有且僅有一個零點，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】拋物線的焦點為F，P為其上一動點，設直線l與拋物線C相交于A，B兩點，點下列結論正確的是（ ）

A.|PM| +|PF|的最小值為3

B.拋物線C上的動點到點的距離最小值為3

C.存在直線l，使得A，B兩點關于對稱

D.若過A、B的拋物線的兩條切線交準線于點T，則A、B兩點的縱坐標之和最小值為2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】數(shù)學中的數(shù)形結合也可以組成世間萬物的絢麗畫面，一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物，曲線為四葉玫瑰線，下列結論正確的有（ ）

（1）方程（），表示的曲線在第二和第四象限；

（2）曲線上任一點到坐標原點的距離都不超過2；

（3）曲線構成的四葉玫瑰線面積大于；

（4）曲線上有5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；

A.（1）（2）B.（1）（2）（3）

C.（1）（2）（4）D.（1）（3）（4）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四邊形為菱形，且，取中點為.現(xiàn)將四邊形沿折起至，使得.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若點滿足，當平面時，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線交橢圓于兩點，.

（1）若，且點滿足，證明：點不在橢圓上；

（2）若橢圓的左，右焦點分別為，，直線與線段和橢圓的短軸分別交于兩個不同點，，且，求四邊形面積的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案