Question

（本小題滿分14分）

已知

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）判斷并證明的奇偶性與單調(diào)性;

（Ⅲ）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）則；（2）函數(shù)為奇函數(shù)。證明見解析。

（3）．

【解析】

試題分析：（1）利用換元法：令t=log_ax⇒x=a^t，代入可得f（t）從而可得函數(shù)f（x）的解析式

（2）由（1）得f（x）定義域為R，可求函數(shù)的定義域，先證奇偶性：代入f（-x）=-f(x)，從而可得函數(shù)為奇函數(shù)。再證單調(diào)性：利用定義任取x₁＜x₂，利用作差比較f（x₁）-f（x₂）的正負，從而確當(dāng)f（x₁）與f（x₂）的大小，進而判斷函數(shù)的單調(diào)性

（3）根據(jù)上面的單調(diào)性的證明以及定義域得到不等式的求解。

解：（1）令

則  ………3分

（2）

∴函數(shù)為奇函數(shù)。                         ………5分

當(dāng)，任取

－

==

=

，

類似可證明當(dāng)，綜上，無論，上都是增函數(shù)。                                                                ………9分

（3）不等式化為

∵上都是增函數(shù)，∴恒成立

即對恒成立，∴

故的取值范圍．                               ………14分

考點：本試題主要考查了函數(shù)性質(zhì)的三點：①利用換元法求函數(shù)的解析式，這是求函數(shù)解析式中最為重要的方法，要注意掌握，解答此類問題的注意點：換元后要確定新元的范圍，從而可得所要求的函數(shù)的定義域②函數(shù)奇偶性的判斷。

點評：解題的關(guān)鍵是利用奇偶性的定義③利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟（i）任設(shè)x₁＜x₂（也可x₁＞x₂）（ii）作差f（x₁）-f（x₂）（iii）定號，給出結(jié)論．