Question

設(shè)m，n是給定的整數(shù)，，是一個(gè)正2n+1邊形，．求頂點(diǎn)屬于P且恰有兩個(gè)內(nèi)角是銳角的凸m邊形的個(gè)數(shù)．

Answer 1

見(jiàn)解析

先證一個(gè)引理：頂點(diǎn)在P中的凸m邊形至多有兩個(gè)銳角，且有兩個(gè)銳角時(shí)，這兩個(gè)銳角必相鄰．
事實(shí)上，設(shè)這個(gè)凸邊形為，只考慮至少有一個(gè)銳角的情況，此時(shí)不妨設(shè)，
則，       
更有．
而+，故其中至多一個(gè)為銳角，這就證明了引理．
由引理知，若凸邊形中恰有兩個(gè)內(nèi)角是銳角，則它們對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)相鄰．
在凸邊形中，設(shè)頂點(diǎn)與為兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)，且在這兩個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角均為銳角．設(shè)與的劣弧上包含了的條邊（），這樣的在固定時(shí)恰有對(duì)．
（1）若凸邊形的其余個(gè)頂點(diǎn)全在劣弧上，而劣弧上有個(gè)中的點(diǎn)，此時(shí)這個(gè)頂點(diǎn)的取法數(shù)為．
（2）若凸邊形的其余個(gè)頂點(diǎn)全在優(yōu)弧上，取，的對(duì)徑點(diǎn)，，由于凸邊形在頂點(diǎn)，處的內(nèi)角為銳角，所以，其余的個(gè)頂點(diǎn)全在劣弧上，而劣弧上恰有個(gè)中的點(diǎn)，此時(shí)這個(gè)頂點(diǎn)的取法數(shù)為．
所以，滿(mǎn)足題設(shè)的凸邊形的個(gè)數(shù)為

．