Question

.（本小題滿(mǎn)分12分）將圓O: 上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半 (橫坐標(biāo)不變),

得到曲線C.(1) 求C的方程;(2) 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于A、B兩點(diǎn), N為線段AB的中點(diǎn),延長(zhǎng)線段ON交C于點(diǎn)E.求證: 的充要條件是.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)略   

解析:

: (1)設(shè)點(diǎn), 點(diǎn)M的坐標(biāo)為,由題意可知………………(2分)

又∴.

所以, 點(diǎn)M的軌跡C的方程為.………………(4分)

(2)設(shè)點(diǎn), , 點(diǎn)N的坐標(biāo)為,

㈠當(dāng)直線l與x軸重合時(shí), 線段AB的中點(diǎn)N就是原點(diǎn)O,

不合題意,舍去; ………………(5分)

㈡設(shè)直線l:

由消去x,

得………①∴………………(6分)

∴,

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為.………………(8分)

①若, 坐標(biāo)為, 則點(diǎn)E的為, 由點(diǎn)E在曲線C上,

得, 即 ∴舍去).

由方程①得

又∴.…(10分)

②若, 由①得∴

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為, 射線ON方程為: ,

由  解得 ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為

∴.綜上, 的充要條件是.……(12分)