Question

某熱電廠積極推進節(jié)能減排工作，技術(shù)改造項目“循環(huán)冷卻水系統(tǒng)”采用雙曲線型冷卻塔（如右圖），以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復使用，從而實現(xiàn)熱電系統(tǒng)循環(huán)水的零排放．
（1）冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，要求它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為20m，且雙曲線的離心率為

34

3

，試求冷卻塔的高應當設計為多少？
（2）該項目首次需投入資金4000萬元，每年節(jié)能后可增加收入600萬元．投入使用后第一年的維護費用為30萬元，以后逐年遞增20萬元．為使年平均節(jié)能減排收益達到最大值，多少年后報廢該套冷卻塔系統(tǒng)比較適合？

Answer 1

分析：（1）先建立平面直角坐標系如圖．設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)．根據(jù)題意求得a，b的值得到標準方程，再將x=13和20代入求得|y|的值，從而得到冷卻塔的高．
（2）由題意得出n年后的年平均減排收益的表達式，再結(jié)合基本不等式求得其最小值即可得出多少年后報廢該套冷卻塔系統(tǒng)比較適合．

解答：解：（1）如圖，建立平面直角坐標系．設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)．
由題意可知，a=12，e=

c

a

=

c

12

=

34

3

，解得c=4

34

．…（2分）
從而b2=c2-a2=(4

34

)2-122=400．…（3分）
∴雙曲線方程為

x2

144

-

y2

400

=1．…（4分）
將x=13代入，解得|y|=

25

3

；x=20代入，解得|y|=

80

3

．…（6分）
所以，冷卻塔的高為 

25

3

+

80

3

=

105

3

 (m)．…（7分）
（2）n年后的年平均減排收益為

600n-[30n+ n(n-1) 2 ×20]-4000

n

=

-10n2+580n-4000

n

=-10(n+

400

n

)+580≤-10×2

n• 400 n

+580=180．…（12分）
當且僅當n=

400

n

即n=20時等號成立．…（13分）
所以，20年后報廢該套冷卻塔系統(tǒng)比較適合．…（14分）

點評：本小題主要考查雙曲線的應用、雙曲線的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學應用能力．屬于基礎題．