Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD—ABCD中，P是AC與BD的交點，M是CC的中點．

（1）求證：AP⊥平面MBD；

（2）求直線BM與平面MBD所成角的正弦值；

（3）求平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值．

（請注意把答案填寫在答題卡上）

Answer 1

解：如圖，以D為坐標原點，向量，，為單位正交基向量，

建立空間直角坐標系D—xyz．則P(，，0)，M(0，1，)．

（1）=(－，，－1)，＝(1，1，0)，

＝(0，1，)，所以·＝0，·＝0．

所以⊥，⊥． 又因為BD∩DM＝D，所以AP⊥平面MBD；

（2）由（1）可知，可取n=(1，－1，2)為平面MBD的一個法向量．又＝(－1，1，)，

所以cos<n，>＝＝－ ＝－ ．

所以直線AM與平面MBD所成角的正弦值為．

（3）=(0，1，0)，=(－1，0，)．設(shè)n₁＝(x，y，z)為平面MBD的一個法向量，則

解得   即可取n₁＝(1，0，2)．

由（1）可知，可取n=(1，－1，2)為平面MBD的一個法向量．

所以cos< n，n₁>＝＝．所以平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值為．