Question

（2012•吉林二模）已知兩定點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），滿足|

PF1

|+|

PF2

|=4的動點P的軌跡是曲線C．
（Ⅰ） 求曲線C的標準方程；
（Ⅱ）直線l：y=-x+b與曲線C交于A，B兩點，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，曲線C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓．故a=2，c=1，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程

y=-x+b 3x2+4y2=12

，得7x²-8bx+4b²-12=0，因為△=48（7-b²）＞0，所以b²＜7，再由韋達定理和點到直線的距離公式結(jié)合題設(shè)條件能夠求出△AOB面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，曲線C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓．
∴a=2，c=1，∴b²=3，
故曲線C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．…（3分）
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程

y=-x+b 3x2+4y2=12

，
得7x²-8bx+4b²-12=0，…（4分）
因為△=48（7-b²）＞0，
解得b²＜7，且x1+x2=

8b

7

，x1x2=

4b2-12

7

，（5分）
∵點O到直線l的距離d=

|b|

2

，…（6分）
|AB|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 6

7

7-b2

，…（9分）
∴S△AOE=

1

2

•

|b|

2

•

4 6

7

•

7-b2

=

2 3

7

b2(7-b2)

≤

3

．…（10分）
當且僅當b²=7-b²，即b2=

7

2

＜7時，取到最大值．
∴△AOB面積的最大值為

3

．…（12分）

點評：本題考是曲線方程的求法，考要三角形最大面積的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意點到直線距離公式、根的判別式、韋達定理的合理運用．