Question

如圖，某小區(qū)有一邊長(zhǎng)為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個(gè)游泳池，計(jì)劃在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊AE相切的直路l（寬度不計(jì)），切點(diǎn)為M，并把該地塊分為兩部分．現(xiàn)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若池邊AE滿足函數(shù)y=-x²+2（0≤x≤

2

）的圖象，且點(diǎn)M到邊OA距離為t(

2

3

≤t≤

4

3

)．
（1）當(dāng)t=

2

3

時(shí)，求直路l所在的直線方程；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，地塊OABC在直路l不含泳池那側(cè)的面積取到最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）求當(dāng)t=

2

3

時(shí)，直路l所在的直線方程，即求拋物線y=-x²+2（0≤x≤

2

）在x=

2

3

時(shí)的切線方程，利用求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到切線的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式寫切線方程；
（Ⅱ）求出x=t時(shí)的拋物線y=-x²+2（0≤x≤

2

）的切線方程，進(jìn)一步求出切線截正方形在直線右上方的長(zhǎng)度，利用三角形面積公式寫出面積，得到的面積是關(guān)于t的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析面積函數(shù)在（0＜t＜

2

）上的極大值，也就是最大值．

解答：解：（I）∵y=-x²+2，∴y′=-2x，
∴過點(diǎn)M（t，-t²+2）的切線的斜率為-2t，
所以，過點(diǎn)M的切線方程為y-（-t²+2）=-2t（x-t），
即y=-2tx+t²+2，
當(dāng)t=

2

3

時(shí)，切線l的方程為y=-

4

3

x+

22

9

，
即當(dāng)t=

2

3

時(shí)，直路l所在的直線方程為12x+9y-22=0；
（Ⅱ）由（I）知，切線l的方程為y=-2tx+t²+2，
令y=2，得x=

t

2

，故切線l與線段AB交點(diǎn)為F（

t

2

，2），
令y=0，得x=

t

2

+

1

t

，故切線l與線段OC交點(diǎn)為（

t

2

+

1

t

，0）．
地塊OABC在切線l右上部分為三角形FBG，如圖，

則地塊OABC在直路l不含泳池那側(cè)的面積為S=

1

2

（2-

t

2

-

1

t

+2-

t

2

）×2=4-t-

1

t

=4-（t+

1

t

）≤2．當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，取等號(hào)．
∴當(dāng)t=100米時(shí)，地塊OABC在直路l不含游泳池那側(cè)的面積最大，最大值為20000平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，在實(shí)際問題中，函數(shù)在定義域內(nèi)僅含一個(gè)極值，該極值往往就是最值．屬中檔題型．