【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若有兩個相異零點,求證:.

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】

(1)對f′(x中的k分類討論,根據(jù)f′(x)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.

(2)由題意得lnx1kx1=0,lnx2kx2=0,兩式作差可得,lnx1lnx2kx1x2),k=,要證lnx1+lnx2>2即kx1+x2)>2,將k代換后,化簡變形得,設t1,構造函數(shù)gt),利用新函數(shù)的導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間,證得gt)>g(1)=0即可.

(1)

①當時,,在區(qū)間上單調(diào)遞增;

②當時,由,得,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.

(2)因為,的兩個零點,則,

所以,.

要證,只要證,即證,

即證,即證,只要證.

,則只要證.

,則,所以上單調(diào)遞增.

所以,即,所以,即.

練習冊系列答案
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