Question

給定橢圓C：，稱圓心在原點(diǎn)O、半徑為的圓是橢圓C的“伴橢圓” ，若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到距離為；

（1）、求橢圓C的方程及其“伴橢圓”的方程；

（2）、若傾斜角為的直線與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與橢圓C的“伴橢圓”相交于M、N兩點(diǎn)，求弦MN的長(zhǎng)。

（3）、若點(diǎn)P是橢圓C“伴橢圓”上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：。

Answer 1

解：（1）因?yàn)?sub>，所以……………………………………………2分

所以橢圓的方程為，伴隨圓的方程為.…………………………4分

（2）設(shè)直線的方程，由得

由得…………………………6分

圓心到直線的距離為 ，所以………………………………8分

（3）①、當(dāng)中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)無(wú)斜率，

因?yàn)?sub>與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或，

當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與伴隨圓交于點(diǎn)

此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（或且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是(或，即為(或，顯然直線垂直；

同理可證方程為時(shí)，直線垂直.…………………………………………………10分

②、當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)其中，

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，

由，消去得到，

即，………………………………………12分

，

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到：，

因?yàn)?sub>，所以有，……………………………14分

設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?sub>與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以滿足方程，

因而，即垂直.………………………………………………………………16分