Question

如圖(1)，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分別是AC，AB上的點，CD＝BE＝，O為BC的中點．將△ADE沿DE折起，得到如圖(2)所示的四棱錐，其中．

(Ⅰ)證明：平面BCDE；

(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)在圖(1)中，易得

　　連結(jié)，在中，由余弦定理可得

　　

　　由翻折不變性可知，

　　所以，所以，

　　理可證，又，所以平面．

　　(Ⅱ)傳統(tǒng)法：過作交的延長線于，連結(jié)，

　　因為平面，所以，

　　所以為二面角的平面角．

　　結(jié)合圖1可知，為中點，故，從而

　　所以，所以二面角的平面角的余弦值為．

　　向量法：以O(shè)點為原點，建立空間直角坐標系O－xyz如圖所示，

　　則，，

　　所以，

　　設(shè)為平面的法向量，則

　　，即，解得，令，得

　　由(Ⅰ)知，為平面的一個法向量，

　　所以，即二面角的平面角的余弦值為．