【題目】如圖所示,在中,斜邊,將沿直線旋轉(zhuǎn)得到,設(shè)二面角的大小為.

(1)取的中點(diǎn),過點(diǎn)的平面與分別交于點(diǎn),當(dāng)平面平面時(shí),求的長(2)當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.

【答案】(1);(2).

【解析】試題分析:(1)根據(jù)兩個(gè)面平行的性質(zhì),可以得出交線平行,利用中位線的性質(zhì)可得;(2)過點(diǎn)于點(diǎn),可證明平面,建立以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用法向量的夾角可求出二面角的余弦值.

試題解析:(1)因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面,

平面平面,所以.

因?yàn)?/span>的中點(diǎn),所以的中點(diǎn).

同理可證: 的中點(diǎn).所以.

中,斜邊,可知: ,即,

所以.

(2)過點(diǎn)于點(diǎn),連接,則.

因?yàn)?/span>,所以平面平面.

因?yàn)槠矫?/span>平面, 平面,所以平面.

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

中, ,所以.

所以.所以.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

可得可得.

易知: 平面.

所以.所以二面角的余弦值為.

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