Question

已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求此幾何體的體積的大小

 

Answer 1

【答案】

(1) 異面直線與所成的角的余弦值為．

(2) 二面角的的正弦值為．

(3)幾何體的體積為16．

【解析】

試題分析：(1) 先確定幾何體中的棱長, ，通過取的中點(diǎn)，連結(jié)，

則，∴或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角． 在中即可解得的余弦值.

(2) 因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032104342064218746/SYS201403210434517203815261_DA.files/image004.png">的棱為，可通過三垂線法找二面角，由已知平面，過作交于，連．可得平面，從而，∴為二面角的平面角．  在中可解得角的正弦值.

（3）該幾何體是以為頂點(diǎn)，為高的，為底的四棱錐，所以

此外也可以以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系來解答.

試題解析：（1）取的中點(diǎn)是，連結(jié)，

則，∴或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角．

在中，，．∴．

∴異面直線與所成的角的余弦值為．

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032104342064218746/SYS201403210434517203815261_DA.files/image015.png">平面，過作交于，連．

可得平面，從而，

∴為二面角的平面角． 

在中，，，，

∴．∴．

∴二面角的的正弦值為．

（3），∴幾何體的體積為16．

方法2：（1）以為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）

，，∴，

∴異面直線與所成的角的余弦值為．

（2）平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為，

所以，，

則， ∴

從而，，

令，則，，

∴二面角的的正弦值為．

（3），∴幾何體的體積為16．

考點(diǎn)：1、三視圖還原幾何體的棱長；2、異面直線所成的角，二面角；3、四棱錐的體積；4、利用向量法解立體幾何問題.