已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-3x-
3
4
.定義函數(shù)f(x)與實數(shù)m的一種符號運算為m?f(x)=f(x)•[f(x+m)-f(x)].
(1)求使函數(shù)值f(x)大于0的x的取值范圍;
(2)若g(x)=4?f(x)+
7
2
x2
,求g(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值與最小值;
(3)是否存在一個數(shù)列{an},使得其前n項和Sn=4?f(n)+
7
2
n2
.若存在,求出其通項;若不存在,請說明理由.
分析:(1)函數(shù)值f(x)大于0的x的取值范圍通過解不等式函數(shù)f(x)=
1
2
x2-3x-
3
4
>0求出即可.
(2)根據(jù)題設(shè)中的定義,將g(x)計算化簡并整理,應得出g(x)=2x3-
21
2
x2+9x+3
,再利用導數(shù)求出g(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值與最小值
(3)由(2)得Sn=4?f(n)+
7
2
n2
=2n3-
21
2
n2+9n+3
,轉(zhuǎn)化為利用數(shù)列中an與 Sn關(guān)系求數(shù)列通項.
解答:解:(1)由f(x)>0,得
1
2
x2-3x-
3
4
>0
,…(1分)
即2x2-12x-3>0,解得x<3-
42
2
x>3+
42
2

所以,x的取值范圍為 (-∞,3-
42
2
)∪(3+
42
2
,+∞)
.…(3分)
(2)g(x)=4?f(x)+
7
2
x2
=(
1
2
x2-3x-
3
4
)•{[
1
2
(x+4)2-3(x+4)-
3
4
]-(
1
2
x2-3x-
3
4
)}+
7
2
x2
=(
1
2
x2-3x-
3
4
)•(
1
2
×8x+
1
2
×16-3×4)+
7
2
x2
=(
1
2
x2-3x-
3
4
)•(4x-4)+
7
2
x2
=2x3-
21
2
x2+9x+3
.…(5分)
對g(x)求導,得g'(x)=6x2-21x+9=3(x-3)(2x-1).
令g'(x)=0,解得x=
1
2
或x=3.…(6分)
當x變化時,g'(x)、g(x)的變化情況如下表:
x 0 (0,
1
2
)
1
2
(
1
2
,3)
3 (3,4) 4
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) 3
41
8
-
21
2
-1
所以,g(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值為
41
8
,最小值為-
21
2
.…(10分)
(3)存在.
由(2)得Sn=4?f(n)+
7
2
n2
=2n3-
21
2
n2+9n+3
.…(11分)
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n3-
21
2
n2+9n+3)-[2(n-1)3-
21
2
(n-1)2+9(n-1)+3]
=2(3n2-3n+1)+
21
2
(-2n+1)+9=6n2-27n+
43
2

當n=1時,a1=S1=2×13-
21
2
×12+9×1+3=
7
2
.…(13分)
所以,an=
7
2
 
 
(n=1)
6n2-27n+
43
2
 
 
(n≥2)
.…(14分)
點評:本題考查了一元二次不等式解法、利用導數(shù)研究最大(小)值.以及利用數(shù)列中an與 Sn關(guān)系求數(shù)列通項.考查轉(zhuǎn)化、變形、計算能力.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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