Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AB=AA₁=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D是棱B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-ADC的體積．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵A₁B₁=A₁C₁，點(diǎn)D是棱B₁C₁的中點(diǎn)．
∴A₁D⊥B₁C₁．
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得BB₁⊥B₁C．
∵BB₁∩B₁C₁=B₁．
∴A₁D⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）∵A₁B₁=A₁C₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，
∴．
∵點(diǎn)D是棱B₁C₁的中點(diǎn)，∴．
∵A₁A∥平面BB₁C₁C，∴點(diǎn)A與A₁到平面BB₁C₁C的距離相等，
∴===．
分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）利用等積變形即可求出．
點(diǎn)評：熟練掌握線面垂直的判定定理和三棱錐的體積計(jì)算公式及等積變形是解題的關(guān)鍵．